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向量组线性相关的三条性质
1、向量a1，a2，…，an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
2、对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。 向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关； 若a≠0， 则说A线性无关。 包含零向量的任何向量组是线性相关的。 含有相同向量的向量组必线性相关。
3、通过向量组的正交性研究向量组的相关性。当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关。
4、性质：向量a1，a2， ···，an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
向量组线性相关的几何意义是什么?
其几何意义：该向量组所对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的四个平面交于同一条直线。n+1个向量线性相关，它们必定在小于等于n维的线性空间内。
线性相关，意味着它们在一个更小的维度里。如两个向量线性相关，就是它们共线（或叫平行），三个向量线性相关，就是它们三个在一个平面内。
向量组的线性相关，是说这个向量组有“多余的”向量，它们可以用其他的向量线性表示。去掉这些“多余的”向量。对于原来向量组张成的向量空间没有影响向量组的线性无关。是说这个向量组没有“多余的”向量。
如果指的是基础21里面660第305题，需要考虑一下三维向量组相关无关的几何意义。a1，a2不成比例，即线性无关，秩大于等于2。a4不能由a1，a2，a3线性表出，在3维空间上，a1，a2，a3应当共面，即线性相关，秩小于3。
r(A) = A的列向量组的秩 = 向量组a1，a2，...，am的秩，一般记 r(a1，a2，...，am) = r(A)。线性无关和线性相关其实非常直观，举个例子：红R，绿G，蓝B是色彩的三原色，这三种颜色可以混合出其他所有颜色。
向量组线性相关的定义如下：先把向量组的各列向量拼成一个矩阵，并施行初等行变换变成行阶梯矩阵，若矩阵A秩小于向量个数m，则向量组线性相关；对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。
如何证明向量组线性相关?
1、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关； 若a≠0， 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。增加向量的个数，不改变向量的相关性。
2、判断向量组线性相关性的方法：写成矩阵形式，然后通过行变换，化为行最简形，得到矩阵的秩；得出矩阵的秩，用来和向量个数比较；因为向量组组成的矩阵的秩小于向量个数，所以得出。
3、判断向量组线性相关的方法有： 行列式判别法、向量线性表示法、齐次线性方程组法、秩的判定法。行列式判别法：将向量组的向量按列排成矩阵，计算该矩阵的行列式。
4、显式向量组：将向量按列向量构造矩阵A，对A实施初等行变换，将A化成梯矩阵，梯矩阵的非零行数即向量组的秩向量组线性相关＜＝向量组的秩＜向量组所含向量的个数。
5、注：箭头符号代表代表的是向量）即向量x只有零解，那么就证明了列向量线性无关。方法二：基于秩的判定 r(B)≤n，又r(B)≥r(AB)=r(B)=n→r(B)=n，所以可以得到B的列向量组线性无关。
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